一、选择题(每小题3分，共18分)
1.已知直线l1，l2与平面α，有下列说法：
①若l1∥α，l1∥l2，则l2∥α;②l1 α，l2∩α=A，则l1与l2为异面直线;③若l1⊥α，l2⊥α，则l1∥l2;④若l1⊥l2，l1∥α，则l2∥α.
其中正确的个数有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选B.①错，因为l2还可能在α内.②错，当A∈l1时，l1∩l2=A.③对，是线面垂直的性质定理.④错，l2与α的位置关系不确定.
2.(2014•松原高一检测)BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，连接AD，则图中共有直角三角形的个数
是( )
A.8 B.7
C.6 D.5
【解析】选A.因为AP⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC，又PD⊥BC于D，PD∩PA=P，
所以BC⊥平面PAD，AD 平面PAD，所以BC⊥AD.
又BC是Rt△ABC的斜边，所以∠BAC为直角.
所以图中的直角三角形有：△ABC，△PAC，△PAB，△PAD，△PDC，△PDB，
△ADC，△ADB.
3.在空间中，下列说法正确的有( )
①平行于同一条直线的两条直线互相平行;
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
③平行于同一平面的两条直线互相平行;
④两条异面直线不可能垂直于同一平面.
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选B.由公理4知①正确，由线面垂直的性质定理知④正确.对于②，空间中垂直于同一条直线的两条直线相交、平行、异面都有可能.对③中的两条平行于同一个平面的直线，其位置关系不确定.
4.(2013•广东高考)设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是( )
A.若l∥α，l∥β，则α∥β B.若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C.若l⊥α，l∥β，则α∥β D.若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【解析】选B.对于选项A，两个平面α，β平行于同一条直线，不能确定两平面平行还是相交(若两平面相交能确定与交线平行);对于选项B，垂直于同一条直线的两个平面平行(直线是公垂线);对于选项C，能推出两个平面相交且两个平面垂直;对于选项D，l∥β，l⊥β，l β都可能.
5.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么( )
A.PA=PB>PC
B.PA=PB
C.PA=PB=PC
D.PA≠PB≠PC
【解析】选C.
因为△ABC为直角三角形，M为斜边AB的中点，
所以MA=MB=MC，
因为PM垂直于△ABC所在平面，
所以Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC，
所以PA=PB=PC .
【变式训练】已知直线PG⊥平面α于G，直线EF α，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的关系是( )
A.PE>PG>PF B.PG>PF>PE
C.PE>PF>PG D.PF>PE>PG
【解析】选C.在Rt△PFE中，PE>PF;在Rt△PFG中，PF>PG，所以PE>PF>PG.
6.(2014•吉安高二检测)如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α.垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的( )
A.AC⊥β
B.AC⊥EF
C.AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D.AC与α，β所成的角相等
【解析】选D.对于A.若AC⊥β，EF β，则AC⊥EF.
又AB⊥α，EF α，则AB⊥EF，AB⊥α，CD⊥α，
所以AB∥CD，
故ABDC确定一个平面，又AC∩AB=A，
所以EF⊥平面ABDC，
BD 平面ABDC，所以EF⊥BD.同理B也能推出BD⊥EF.对于选项C.由于AC与BD在β内的射影在同一条直线上，所以平面ABDC与平面β垂直，又因为EF⊥AB，所以EF⊥平面ABDC，所以EF⊥BD.对于D，若AC∥EF，则AC与α，β所成的角也相等，但不能推出BD⊥EF.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.(2014•无锡高二检测)已知直线m 平面α，直线n 平面α，m∩n=M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________.
【解析】因为直线a⊥m，a⊥n，直线m 平面α，直线n 平面α，m∩n=M，所以a⊥α.同理可证直线b⊥α，所以a∥b.
答案：a∥b
8.若三个平面两两垂直，它们交于一点A，空间一点C1到三个平面的距离分别为5，6，7，则AC1的长为________.
【解析】如图构造长方体，可知长方体的长、宽、高分别为7，6，5，AC1为体对角线，所以AC1= = .
答案：
9.AB是☉O的直径，点C是☉O上的动点(点C不与A，B重合)，过动点C的直线VC垂直于☉O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论中正确的是________(填写正确结论的序号).
(1)直线DE∥平面ABC.
(2)直线DE⊥平面VBC.
(3)DE⊥VB.
(4)DE⊥AB.
【解析】因为AB是☉O的直径，点C是☉O上的动点(点C不与A，B重合)，
所以AC⊥BC，
因为VC垂直于☉O所在的平面，
所以AC⊥VC，又BC∩VC=C，
所以AC⊥平面VBC.
因为D，E分别是VA，VC的中点，
所以DE∥AC，又DE⊈平面ABC，AC 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
DE⊥平面VBC，DE⊥VB，
DE与AB所成的角为∠BAC是锐角，故DE⊥AB不成立.
由以上分析可知(1)(2)(3)正确.
答案：(1)(2)(3)
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.(2014•开封高一检测)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.
(1)求证：AB⊥A1C.
(2)若AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
【解析】(1)如图，
取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.
因为CA=CB，所以OC⊥AB.
由于AB=AA1，∠BAA1=60°，故△AA1B为等边三角形，
所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C 平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，
所以OC=OA1= .
又A1C= ，则A1C2=OC2+O ，故OA1⊥OC.
因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，所以OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.
又△ABC的面积S△ABC= ，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1= × =3.
11.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1= ，D是A1B1的中点.
(1)求证：C1D⊥平面A1B.
(2)当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.
【解析】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°.
又D是A1B1的中点，
所以C1D⊥A1B1.
因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
所以AA1⊥C1D，又AA1∩A1B1=A1，
所以C1D⊥平面A1B.
(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求.
证明：因为C1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，
所以C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF，DF∩C1D=D，
所以AB1⊥平面C1DF.
【变式训练】如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB.
【证明】因为SA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以SA⊥BC，又因为BC⊥AB，
SA∩AB=A，
所以BC⊥平面SAB，
又AE 平面SAB，所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE.
又BC∩SC=C，所以AE⊥平面SBC，
所以AE⊥SB.
